無限等比級数を用いて循環小数を分数で表す

2010年 06月 22日
      先日我が家に大学の友人達が訪ねてきた。

      ある一人がふと
      123123
      321321
      555555
      541541
      など

    • 『3桁の同じ数を2つ組み合わせてなる6桁の数字は必ず7で割り切れる』

      • などといわれたので考えてみた。

      ラマヌジャン並の即答はできなかったが簡単にわかった。
      現在読んでいる本の影響のためか「N ≡ 0 (mod7)」がちらついて簡単な代数計算に置き換えることができなかった・・・
      簡単なのでみなさんも解いてみてください。

      さて、本題。

    • 以前
      1 と 0.999・・・ の狭間
      で循環小数を分数で表すことに触れたが、今回は無限級数から導いてみる。
    • S = ΣPn = 1 + P2 + P3 + P4 + P5 ・・・ + P5
      一般的な無限等比級数
    • 次に有限和を変形する
      I = 1 -- pn+11 -- p = 11 -- p -- pn+11 -- p
    • I の数列としてみると
      I0 = 1
      I1 = 11 -- p -- p21 -- p
      I2 = 11 -- p -- p31 -- p
      ・
      ・
      ・
      In = 11 -- p -- pn+11 -- p
      ここで n → ∞ になるとInは収束していく。この時極限値があるとき無限等比級数Sも収束。
      その極限値を α が無限数列の和を与えると定義する。（ここで定義しているのは自明でないため）
    • limx→∞In = limx→∞In ( 11 -- p -- pn+11 -- p )
      = 11 -- p -- pn+11 limx→∞Pn
      となり第二項は | P | < 1 のとき 0 に収束していくので極限値は
      limx→∞In = 11 -- p
      上記の範囲以外は発散する。
    • この数列を元のSの数列に戻すと
      S = ΣPn = 11 -- p ( | p | < 1 )
      に限る。
    • これを用いて循環小数
      0.333・・・
      を分数で現してみる。

      333103( 11 -- 10-3 ) = 333999 = 13

    ちょっと強引か・・・
    ヽ(´ー｀)ノ

    ,
    数学
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