無限降下法練習

2010年 05月 26日

    無限降下法と帰謬法の区別をしっかりとするために簡単な命題で練習。

    2 以上の自然数 n は素因数に分解されることを証明せよ

    • 【無限降下法】

      • 2 以上の自然数 n について n が素数ならば成り立つので n は合成数とするとする.
      n = n1 n2 （2 ≦ n1≦ n , n ≦ n2 ≦ n）となる n1 n2 が存在する。n1 n2 が共に素数ならば明らかに成り立つ.
      n1 または n2 が合成数ならば上記の操作を繰り返す.
      自然数の性質から何れは双方素数の積の形で表される.

      ∴2 以上の任意の自然数 n は素因数に分解される.
      証明終.

    次は慣れ親しんだ方法で。

    • 【数学的帰納法】

      • n = 2 のとき 2 は素数なので成立.
      n = k （k ≧ 2） 以上の時に成り立つと仮定する.
      すなわち 2 ≦ m ≦ k である任意の自然数 m は素因数に分解されるものとする.
      n = k + 1 が合成数ならば、k + 1 = A・B （2 ≦ A ≦ k, 2 ≦ B ≦ k,） となる A, B が存在する。帰納法の仮定より A, B は素因数に分解されるので、k + 1 も素因数に分解される.
      以上から n = k + 1 は祖神数に分解され n = k + 1 のときも成り立つ.
      したがって 2 以上の自然数 n は素因数に分解される.
      証明終.

    ヽ(´ー｀)ノ


    数学
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