ガチムキ覚書

x y 平面において x も y もともに整数である時、点（ x, y ）を格子点とよぶ。

1. （a1620, a1323）が格子点であるためには a はいかなる数でなければならないか。
2. 点（210a, a²14）が格子点であるとき a の値はいくらか。
3. | x | ≦ 100, | y | ≦ 70 の範囲において 3p + 2q = 20 のとき、直線 y = pq x が格子点をいくつ通るかを調べたい。ただし、p , q はともに自然数とする。
   （イ）　このとき直線 y = pq x を全て求めよ。
   （ロ）　（イ）のそれぞれの直線について、格子点の個数を求めよ。

プロギア、watermanエキスパート、μ701私にしては上等の筆記具があるので、1問１ペンでいきますよ！
ヽ(´ー｀)ノ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
一応解答

1. 最小公倍数を求めれば（x, y）の形が整数になりますね。
   1620 = 2² * 3⁴ * 5¹
   1323 = 3³ * 7²
   と素因数分解できるので、この中から指数の大きい方（太字）の数字を選びます
   2² * 3⁴ * 5 * 7² = 79380
   ∴a = 79380
   となる。
2. | a | ≦210 かつ a²が14の倍数となる a を求める。
   210 までの 14 の倍数 { 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, 154, 168, 182, 196, 210 }
   この内 a²で表せるのは 196 =16².
   | a | ≦210 より a = ± 16 ・・・210 の約数じゃないやなんけぇぇぇぇぇぇぇぇ！！！！！
   
   正解は単純に約数同士で観て行けば良いだけで以下が正解。
   a²は 14 の倍数なので a は14の倍数となる。
   ここで 210 の素因数 { 2, 3, 5, 7 }
   となるこの中で 14 の倍数となるのは { 14, 42, 70, 210 } となるので、
   a { 14, 42, 70, 210 } となる。
3. • （イ） p, q はともに自然数なので、単純に 3p + 2q = 20 を満たす（p, q）の組み合わせを出せばよい。
     （2, 7）（4, 4）（6, 1）の3組なのでこれを y = pqx にあてはめればよい。
     ∴
     y = 27x
     y = x
     y = 6x
     の3通りである。
   • （ロ） 先ずこの直線から見ていくことにする、 y = 27x この式の x に100 を代入しても 28 ・・・4 なので、
     | x | ≦ 100, | y | ≦ 70 の条件は満たすので、28個しかしこの数は2倍されているので半分の14個。これは第一次象限のみなので第三次象限も含めると28個となる、更に忘れてはいけないのがO点、すると合計29個となる。

     以下同様に
     x = y の場合は | y | ≦ 70 ということに気緒付けて 70 * 2 + 1 = 141（個）となる

     y = 6x は | y | ≦ 70 より | x | ≦ 11 となり求める格子点は 11 * 2 + 1 = 23（個）となる

関東御三家クラスの問題ですが、つい先日といた某旧帝大の数Ⅰと似たような設問の流れ、う～んこの時点で国公立を目指した考えを持て！ということですな。