ガチムキ覚書

【備忘録】

先ず以下2つの等比数列がある。
• f( 0 ) = x²( 1 + 1 ( 1 + x²) + 1 ( 1 + x² )² + 1 ( 1 + x² )³ ・・・ + 1 ( 1 + x² )ⁿ )・・・①

①は f(x) は x = 0 においては 0 になる。
x が任意の数であればx²より右の式は等比級数であり、この場合公比の和は収束していく。

• f(x) = x²( 1 + 1 ( 1 + x²) + 1 ( 1 + x² )² + 1 ( 1 + x² )³ ・・・ + 1 ( 1 + x² )ⁿ)・・・②
• f(x) ・1 ( 1 + x²) = x²( 1 ( 1 + x²) + 1 ( 1 + x² )² + 1 ( 1 + x² )³ ・・・ + 1 ( 1 + x² )ⁿ⁺¹)・・・③
• f(x) ・ 1 ( 1 + x²) = x²・・・④

以上②、③を比較し④なる。
をまとめると
f(x) = x² 1 -- 11 + x² = 1 + x² , limf(x)x→0 = 1 ・・・⑤
となる。
両者をみると、①、⑤に食い違いが出てくる。

このようにしてみると①、②それぞれの条件では満たしているが両者が一致しない。
今回連続関数の参考書で目にしたのだが、以上では連続した関数（放物線が）成り立たないということになる。

だが、面白いことに視点を少し変えると整数の連続性についてもこれはいえないだろうか？
以前に話した無限小数0.999999999・・・・・・・・と１の連続性もこれに似たところがある。

整数の連続性も関数の連続性も同じということだ。

話は変わるが、CSS使って上記の式を分数表記にして見ることに

/*
このクラスで分数全体を囲む
*/
.fraction {
display: inline-block;
text-align: center;
vertical-align: middle;
font-size: smaller;
}
/*
このクラスで分子となる部分を囲む
*/
.fraction > .bar {
background-color: #FFFFDE;
display: block;
width: 100%;
height: 1px;
line-height: 100%;
}
/*
極限（lim,Σ）など線を表したくない時
*/
.fraction > .nonBar {
background-color: #333333;  /*背景色と同じにしてしまかまたは無くす*/
display: block;
width: 100%;
}

【例】

• <!-- 1/2を表す -->
  <span class="fraction">1<span class="bar"></span>2</span>
  

  12

• <!-- x の極限を表す -->
  <span class="fraction">lim<span class="nonBar"></span>x→∞</span>
  

  limx→∞

【参考】
雑草ブログ様
少し応用を利かせて.fraction > .bar このクラスの背景色をサイトの背景色と同じにすればlim x→0 なども綺麗に表せる。
見栄えはよくなるけど結構面倒くさい・・・
実際書いて見るとTeXの便利さが良くわかる・・・ｗ
(つд・)ｴｰﾝ