デブリ屋

1 = 0.999・・・というζ関数に似た表現が気になり考えてみた。

• ここに 0.333・・・ という循環小数がある

この数は有理数なので分数で表すことができる。

A = 0.333・・・ と置く
10A = 3.333・・・ = 3 + 0.333・・・ = 3+ A
より
9A = 3
A = 1/3
となる

• 同じように 0.999・・・ という循環小数の場合を考える

A = 0.999・・・ と置く
10A = 0.999・・・ = 9 + 0.999・・・ = 9+ A
より
9A = 9
A = 1
となる

0.999・・・ = 1
となる。

• う～ん、おかしい。

0.999・・・ と 1 の間には何があるのか？
むしろ何か無いといけない（=がある！とか言うのはやめておく）。

• 0.999・・・ は 9 * 1/10ⁿの等比数列の和、すなわち等比級数で表すことができる。

分数で表すと999・・・/10^(9の個数)になり、限りなく 1 に近づいてはいく。

同様に先程の0.333・・・の場合についても等比級数で表せ、
分数で表すと333・・・/10^(3の個数)になり、限りなく 1/3 に近づいてはいく。

この差は分数化するときの計算法にあるようだ。
.　A = 0.999・・・
10A = 9.999・・・
実際の差は
9A = 8.999・・・9991
となり
A = 1 とはならない。

• では何故 0.333・・・ = 1/3 や 0.999・・・ = 1 が計算として導かれるのか。

これは無限循環少数だからである。
本来ならば10倍することによって1桁繰り上がるだけのはずが、無限であるが故そこを補填するかのように数字が入ってくるためである。
【実際】
.　A = 0.9999999　←7個の9
10A = 9.999999　←7個の9（これは自明）
【無限】
.　A = 0.9999・・・999　←無限（個）の9
10A = 9.9999・・・999　←無限（個）の9（無限大になると自明でなくなる）

• 結果、無限少数 0.999・・・ = 1 と表されてもおかしくはない。

（無限少数 0.999・・・ でなければ 0.999・・・ = 1 は絶対ならないよ！）
ここで 0.999・・・ = 1 これが成り立たないと『実数の連続性』という定義が失われてしまうからだ。
『実数の連続性』が成り立たないと数字は文字だけになり性質や大きさを失う。

【例】
鉛筆で直線を引きそれを実数直線としたとき、その1部を消しゴムで消したとする、その2線に連続性は無くなり全く別の2つの実数直線となる。

全ては無限が故・・・
（この概念が理解出来ないと近似の世界なんてヤバイですね・・・ｗ